Question

如圖在直角坐標XOY的第一象限內有豎直向下的勻強電場E=0.5V/m，垂直紙面向里的邊界與X軸平行的勻強磁場B=0.4T，一開口向上光滑絕緣圓筒內有一內徑略小的帶正電小球m=1kg，q=+10C，圓筒的長度與勻強磁場的寬度相等，由O點開始，圓筒向右以v₀=5m/s勻速直線運動，經過一段時間，圓筒運動到P點(P在磁場上邊界)時小球恰好滑出筒口并且有了與X軸正向夾角θ=60⁰斜向上的速度，之后小球在電場中運動，重力加速度取10m/s²求：小球再次回到與P點等高時的坐標值？

Answer 1

（，2.5）

本題涉及的是帶電粒子在復合場中的動態分析問題，考查了重力、電場力、洛侖茲力、受力分析、牛頓第二定律、平衡條件等知識。這類問題的關鍵在于通過受力分析、運動過程的分析，找出臨界狀態及臨界條件進行求解。
根據題易分析圓筒在到達P點之前，小球在豎直方向上受mg=10N(向下)，Eq=5N(向下)，qv₀B=20N(向上)，三者合力向上，其做初速度為零的勻加速直線運動，水平方向上小球受力始終是平衡的，做速度為v₀的勻速直線運動。到達P點時，小球合運動的速度方向是斜向上的。進入電場中，小球的受力情況是mg=10N(向下)，Eq=5N(向下)，二者合力是恒力，方向是豎直向下的，因此可以判斷小球在重力場和電場的復合場中作斜上拋運動，之后逐漸回到磁場上邊界。
小球在豎直方向上做勻加速直線運動qv₀B－mg－Eq=ma₁，則a₁=5m/s²。
經過t₁時間到P點，有X₁=v_ot₁ ，Y₁=a₁t₁²/2，
P點，小球的水平分速度為v_x=v₀，
豎直分速度v_y=v₀tanθ=，
則t₁=v_y/a₁=1s，整理得X₁=5m，Y₁=2.5m。
小球完全進入電場中有水平以v_x作勻速直線運動，豎直方向以初速度v_y做類豎直上拋運動
X₂=2v₀t₂
mg+Eq=ma₂
t₂=v_y/a₂
整理得X₂=m。
所以P點的坐標為：
X_p=X₁+X₂=()m
Y_p=Y₁=2.5m。