Question

圖示是我國的“探月工程”向月球發射一顆繞月探測衛星“嫦娥一號”過程簡圖．月球探測計劃“嫦娥工程”預計在2017年送機器人上月球，實地采樣送回地球，為載人登月及月球基地選址做準備．設想我國宇航員隨“嫦娥”號登月飛船繞月球飛行，飛船上備有以下實驗儀器：
A．計時表一只，B．彈簧秤一把，C．已知質量為m的物體一個，D．天平一只（附砝碼一盒）．
在飛船貼近月球表面時可近似看成繞月球做勻速圓周運動，宇航員測量出飛船在靠近月球表面的圓形軌道繞行N圈所用的時間為t．飛船的登月艙在月球上著陸后，遙控機器人利用所攜帶的儀器又進行了第二次測量，利用上述兩次測量的物理量可出推導出月球的半徑和質量．（已知萬有引力常量為G），要求：
（1）說明機器人是如何進行第二次測量的？
（2）試推導用上述測量的物理量表示的月球半徑和質量的表達式．
（3）若已知R_月=

1

4

R_地，g_月=

1

6

g_地，則近月衛星的運行速度約為近地衛星運行速度的多少倍？

Answer 1

分析：（1）機器人在月球上用彈簧秤豎直懸掛物體，靜止時讀出彈簧秤的讀數F，即為物體在月球上所受重力的大�。�
（2）靜止時讀出彈簧秤的讀數F，求出月球表面重力加速度．不考慮月球的自轉影響，根據重力近似等于月球的萬有引力，列方程得出月球表面重力加速度與月球半徑的關系式，再飛船在繞月球運行時，由萬有引力提供飛船做圓周運動的向心力列方程，得到月球質量與月球半徑、飛船周期的關系式，再聯立求解月球半徑和質量的表達式．
（3）根據萬有引力提供向心力，得到近月衛星和近地衛星速度的表達式，再求出兩速度之比．

解答：解：（1）機器人在月球上用彈簧秤豎直懸掛物體，靜止時讀出彈簧秤的讀數F，即為物體在月球上所受重力的大�。�
    （2）在月球上忽略月球的自轉可知  mg_月=F  ①G

Mm

R2

=mg月②
飛船在繞月球運行時，因為是靠近月球表面，故近似認為其軌道半徑為月球的半徑R，由萬有引力提供飛船做圓周運動的向心力可知G

Mm

R2

=mR

4π2

T2

③又 T=

t

N

④
由①．②．③．④式可知月球的半徑 R=

FT2

4π2m

=

Ft2

4π2N2m

，
月球的質量  M=

F3t4

16π4GN4m3

．
    （3）設近月衛星和近地衛星的速度分別為v_月、v_地．
由G

Mm

R

=m

v2

R

得v=

GM R

=

gR

則

V月

V地

=

g月R月 g地R地

=

1 24

．
答：（1）機器人是這樣進行第二次測量的：機器人在月球上用彈簧秤豎直懸掛物體，靜止時讀出彈簧秤的讀數F，即為物體在月球上所受重力的大�。�
   （2）月球半徑的表達式R=

Ft2

4π2N2m

，質量表達式量M=

F3t4

16π4GN4m3

．
   （3）近月衛星的運行速度約為近地衛星運行速度的

1

24

倍．

點評：登月飛船繞月球旋轉與人造衛星繞地球運行相似，要建立物理模型：飛船繞月做勻速圓周運動，由月球的萬有引力提供飛船的向心力．