Question

如圖所示，豎直平面內有一半徑為r、內阻為R₁、粗細均勻的光滑半圓形金屬環球，在M、N處與相距為2r、電阻不計的平行光滑金屬軌道ME、NF相接，EF之間接有電阻R₂，已知R₁=12R，R₂=4R．在MN上方及CD下方有水平方向的勻強磁場I和II，磁感應強度大小均為B．現有質量為m、電阻不計的導體棒ab，從半圓環的最高點A處由靜止下落，在下落過程中導體棒始終保持水平，與半圓形金屬環及軌道接觸良好，且平行軌道足夠長．已知導體棒ab下落r/2時的速度大小為v₁，下落到MN處的速度大小為v₂．
（1）求導體棒ab下落到

r

2

時的加速度大小．
（2）若導體棒ab進入磁場Ⅱ后棒中電流大小始終不變，求磁場I和Ⅱ之間的距離h和R₂上的電功率P₂．

Answer 1

分析：導體棒在重力作用下切割磁感線，從而產生感應電動勢，閉合電路出現感應電流，導致棒受到安培力．由速度可求出此時的安培力大小，再由牛頓第二定律可算出加速度．當電流大小不變時，則此時棒做勻速直線運動，所以由受力平衡可算出棒的速度，再根據運動學公式可求出距離h．而R₂上的電功率與R₁上的電功率之和正好等于棒下落過程中的重力功率．

解答：解：（1）以導體棒為研究對象，棒在磁場I中切割磁感線，棒中產生產生感應電動勢，導體棒ab從A下落

r

2

時，導體棒在重力與安培力作用下做加速運動，由牛頓第二定律，得
mg-BIL=ma，式中l═

3

r  I=

BLv1

R總

式中 R_總=

8R×(4R+4R)

8R+(4R+4R)

=4R
 
由以上各式可得：a=g-

3B2r2v1

4mR

 
 
（2）當導體棒ab通過磁場II時，若安培力恰好等于重力，棒中電流大小始終不變，即
 mg=BI2r=

4B2r2vt

R并

  式中　R并=

12R×4R

12R+4R

=3R
 
解得：vt=

mgR并

4B2r2

=

3mgR

4B2r2

 
導體棒從MN到CD做加速度為g的勻加速直線運動，有
             

v

2 t

-v

2 2

=2gh
 得　h=

9m2gr2

32B4r4

-

v 2 2

2g

 此時導體棒重力的功率為
 PG=mgvt=

3m2g2R

4B2r2

 根據能量守恒定律，此時導體棒重力的功率全部轉化為電路中的電功率，即
 P_電=P₁+P₂=P_G
 所以P2=

3

4

PG=

9m2g2R

16B2r2

點評：導體棒在磁場中切割磁感線產生電動勢，電路中出現電流，從而有安培力．由于安培力是與速度有關系的力，因此會導致加速度在改變．所以當安培力不變時，則一定處于平衡狀態．