Question

如圖所示，在光滑的水平面上有兩個方向相反的勻強磁場垂直穿過，磁場的寬度均為L，磁感應強度大小均為B，水平面上放有一正方形金屬線框，其邊長為a（a＜L），電阻為R．

（1）若線框以速度v從磁場區左側勻速向右穿過該磁場區域到達磁場區右側的過程中，求外力所做的功．
（2）若線框從磁場區左側以水平向右的某個初速度進入磁場，剛好能從磁場區右側全部出來，求線框在進入磁場和離開磁場的過程中產生的熱量之比．

Answer 1

分析：（1）分三段：線圈進入磁場的過程、線圈從左側磁場進入右側磁場、線圈離開磁場的過程，分別求出安培力，根據功的公式求解．
（2）根據動量定理，分別研究以上三個過程，得到三段過程運動速度與電量的關系，根據法拉第定律、歐姆定律得到電量的關系，求出三個過程的速度關系，再根據能量守恒求解熱量．

解答：解：（1）線圈進入磁場的過程中，安培力做功
  W₁=F₁a=（I₁aB）a=(

Bav

R

aB)a=

B2a3v

R

線圈從左側磁場進入右側磁場的過程中，
安培力做功W₂=F₂a=（2I₂aB）a=（2

2Bav

R

aB）a=

4B2a3v

R

線圈離開磁場的過程中，安培力做功
  W₃=F₃a=（I₃aB）a=（

Bav

R

aB）a=

B2a3v

R

整個過程中外力做功等于安培力做的總功
 W=W₁+W₂+W₃=

6B2a3v

R

（2）設線圈進入磁場前的初速度為v₀，在左側磁場中運動的速度為v₁，線圈在右側磁場中運動的速度為v₂，線圈的質量為m
線圈在進入磁場過程中，根據動量定理得：
-

.

F1

t₁=-（

.

I1

aB）t₁=mv₁-mv₀
又感應電荷量q₁=

.

I1

t₁．
即-q₁aB=mv₁-mv₀ ①
線圈從左側磁場進入右側磁場的過程中，同理可得：
-2F₂t₂=-2（

.

I2

aB）t₂=mv₂-mv₁
即-2q₂aB=mv₂-mv₁ ②
線圈離開磁場的過程中，同理可得：
-

.

F3

t₃=-（

.

I3

aB）t₃=-mv₂
即-q₃aB=0-mv₂ ③
又感應電荷量q₁=

△Φ1

R

，q₂=

△Φ2

R

，q₃=

△Φ3

R

其中△Φ₁=△Φ₂=Ba²，△Φ₃=2Ba²，
所以q₂=2q₁，q₃=q₁
由①②③式解得v1=

5

6

v0，v2=

1

6

v0
所以

Q1

Q2

=

1 2 m v 2 0 - 1 2 m v 2 1

1 2 m v 2 2 -0

=

v 2 0 - v 2 1

v 2 2

=

11

1

答：
（1）外力所做的功為

6B2a3v

R

．
（2）線框在進入磁場和離開磁場的過程中產生的熱量之比為11：1．

點評：本題首先能分段研究安培力的大小，難點是運用動量定理列式，結合電量關系，求三段過程速度關系．