Question

如圖（a），小球甲固定于水平氣墊導軌的左端，質量m=0.4kg的小球乙可在導軌上無摩擦地滑動，甲、乙兩球之間因受到相互作用而具有一定的勢能，相互作用力沿二者連線且隨間距的變化而變化．現已測出勢能隨位置x的變化規律如圖（b）中的實線所示．已知曲線最低點的橫坐標x₀=20cm，虛線①為勢能變化曲線的漸近線，虛線②為經過曲線上某點的切線．
（1）將小球乙從x₁=8cm處由靜止釋放，小球乙所能達到的最大速度為多大？
（2）假定導軌右側足夠長，將小球乙在導軌上從何處由靜止釋放，小球乙不可能第二次經過x₀=20cm的位置？并寫出必要的推斷說明；
（3）若將導軌右端抬高，使其與水平面的夾角α=30°，如圖（c）所示．將球乙從x₂=6cm處由靜止釋放，小球乙運動到何處時速度最大？并求其最大速度；

Answer 1

分析：（1）球乙運動到x₀=20cm位置時勢能最少，速度最大，根據能量守恒求解
（2）在0＜x＜20cm區間內兩球之間作用力為排斥力，在20cm＜x＜∞區間內兩球之間作用力為吸引力．
（3）x₃=12cm處的切線斜率的意義是表明此處乙球受到甲球的排斥力大小，根據能量守恒列出等式求解．

解答：解：（1）球乙運動到x₀=20cm位置時勢能最少，速度最大，
根據能量守恒得：
0+E_p1=

1

2

m

v

2 m

+0，
解出v_m=

2Ep1 m

m/s=1m/s                                 
（2）在0＜x＜6cm區間內將小球乙由靜止釋放，不可能第二次經過x₀．     
原因：在0＜x＜20cm區間內兩球之間作用力為排斥力，在20cm＜x＜∞區間內兩球之間作用力為吸引力，無窮遠處和6cm處的勢能均為0.28J．
若小球乙的靜止釋放點在6cm＜x＜∞區間，小球乙將做往復運動，多次經過x₀=20cm的位置．
而靜止釋放點在0＜x＜6cm區間內時，初態勢能大于0.28J，小球乙將會運動到無窮遠處而無法返回，只能經過x₀位置一次．                
（3）x₃=12cm處的切線斜率

△Ep

△x

=

0.34

0.17

J/m=2J/m，
表明此處乙球受到甲球2N的排斥力，乙球此處受到重力的分力mgsinα=2N                    
所以，乙球在x₃=12cm處時，所受合外力等于零，速度最大，
從圖中讀出x₃=12cm處的勢能E_p3=0.1J，x₂=6cm處的勢能E_p2=0.28J，
根據能量守恒得，
0+E_p2+mgx₂sinα=

1

2

m

v′

2 m

+E_p3+mgx₃sinα
解出

v′

2 m

=

0.3

m/s=0.55m/s        
答：（1）將小球乙從x₁=8cm處由靜止釋放，小球乙所能達到的最大速度為1m/s
（2）靜止釋放點在0＜x＜6cm區間內時，初態勢能大于0.28J，小球乙將會運動到無窮遠處而無法返回，只能經過x₀位置一次．
（3）乙球在x₃=12cm處時，速度最大，其最大速度是0.55m/s．

點評：本題考查了識別識別圖象，從圖象中獲取有用物理信息的能力，此類題目文字敘述一般較多，關于漸近線，有的同學沒有學過，不懂漸近線是什么，要清楚知道漸近線是曲線的趨勢線，知道其物理意義．