Question

如圖（a）所示，小球甲可定于足夠長光滑水平面的左端，質量m=0.4kg的小球乙可在光滑水平面上滑動，甲、乙兩球之間因受到相互作用而具有一定的勢能，相互作用力沿二者連線且隨間距的變化而變化．現已測出甲固定于x=0時勢能隨位置x的變化規律如圖中曲線所示．已知曲線最低點的橫坐標x₀=20cm，直線為勢能變化曲線的漸近線．
試求：（1）若將甲、乙兩小球同時從x=0和x=8由靜止釋放，設甲球的質量是乙球的2倍，當乙球的速率為0.2m/s時甲球的速率為多大．
（2）若將甲固定于x=0，小球從x=8m處釋放，求乙球過程的最大速度．
（3若將甲固定于x=0，小球乙在光滑水平面上何處由靜止釋放，小球乙不可能第二次經過x₀=20cm的位置？并寫出必要的推斷說明．

Answer 1

分析：（1）根據動量守恒定律求出當乙球的速率為0.2m/s時甲球的速率．
（2）根據圖象求出x=8cm具有的勢能，根據能量守恒定律，當乙球速度最大時，勢能全部轉化為動能，從而求出乙球的最大速度．
（3）在0＜x＜20cm區間內，勢能逐漸減小，知兩球之間作用力為排斥力，在20cm＜x＜∞區間內兩球之間作用力為吸引力．抓住無窮遠處和6cm處的勢能均為0.28J，根據能量守恒定律進行分析．

解答：解：（1）由動量守恒定律：
m_甲v_甲-m_乙v_乙=0
∴v_甲=

m乙

m甲

v_乙=0.1m/s
（2）由圖可得E_P=0.2J，勢能轉化為動能
E_P=

1

2

mv²   　　　　　
v=

2EP m

=1m/s   　　
（3）在0＜x＜6cm區間內將小球乙由靜止釋放，不可能第二次經過x₀．
原因：在0＜x＜20cm區間內兩球之間作用力為排斥力，在20cm＜x＜∞區間內兩球之間作用力為吸引力，無窮遠處和6cm處的勢能均為0.28J．若小球乙的靜止釋放點在6cm＜x＜∞區間，小球乙將做往復運動，多次經過x₀=20cm的位置．而靜止釋放點在0＜x＜6cm區間內時，初態勢能大于0.28J，小球乙將會運動到無窮遠處而無法返回，只能經過x₀位置一次．
答：（1）甲球的速率為0.1m/s．
（2）乙球過程的最大速度為1m/s．
（3）在0＜x＜6cm區間內將小球乙由靜止釋放，不可能第二次經過x₀．

點評：本題綜合考查了動量守恒定律和能量守恒定律，綜合性較強，以及考查學生的讀圖能力，這方面需加強訓練．