Question

（2013·北京大興一模，24題）（20分） 如圖（a）所示，小球甲可定于足夠長光滑水平面的左端，質量m=0.4kg的小球乙可在光滑水平面上滑動，甲、乙兩球之間因受到相互作用而具有一定的勢能，相互作用力沿二者連線且隨間距的變化而變化。現已測出甲固定于x=0時勢能隨位置x的變化規律如圖中曲線所示。已知曲線最低點的橫坐標x₀=20cm，直線為勢能變化曲線的漸近線。

試求：（1）若將甲、乙兩小球同時從x= 0和x=8由靜止釋放，設甲球的質量是乙球的2倍，當乙球的速率為0.2m/s時甲球的速率為多大。

（2）若將甲固定于x=0，小球從x=8m處釋放，求乙球過程的最大速度。

（3若將甲固定于x=0，小球乙在光滑水平面上何處由靜止釋放，小球乙不可能第二次經過x₀=20cm的位置？并寫出必要的推斷說明；

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）由動量守恒定律：

m_甲v_甲- m_乙v_乙=0（3分）

∴v_甲=v_乙=0.1m/s（3分）

（2）由圖可得E_P=0.2J，勢能轉化為動能

E_P=mv²   　　　　　（3分）

v==1m/s   　　（3分）

（3）在0<x<6cm區間內將小球乙由靜止釋放，不可能第二次經過x₀。（2分）

原因：在0<x<20cm區間內兩球之間作用力為排斥力，在20cm<x<∞區間內兩球之間作用力為吸引力，無窮遠處和6cm處的勢能均為0.28J。若小球乙的靜止釋放點在6cm<x<∞區間，小球乙將做往復運動，多次經過x₀=20cm的位置。而靜止釋放點在0<x<6cm區間內時，初態勢能大于0.28J，小球乙將會運動到無窮遠處而無法返回，只能經過x₀位置一次。（6分）