Question

如圖所示，一塊質量為M，長為L的均質長木板放在很長的光滑水平桌面上，板的左端有一質量為m的小物體（可視為質點），物體上連接一根很長的細繩，細繩跨過位于桌邊的定滑輪．某人以恒定的速率v向下拉繩，物體最多只能到達板的中點，已知整個過程板的右端都不會到達桌邊定滑輪處．試求：
（1）當物體剛達木板中點時木板的位移；
（2）求m與M之間摩擦因數
（3）若木板與桌面之間有摩擦，為使物體能達到板的右端，板與桌面之間的動摩擦因數應滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）板與物塊都向右做初速度為零的勻加速運動，當兩者速度相等時，木塊與板相對靜止，由牛頓第二定律與運動學公式分析答題．
（2）對板與物塊進行受力分析，由牛頓第二定律求出 加速度，由運動學公式求出位移，然后根據兩者間位移的幾何關系分析答題．

解答：解：（1）m與M相對滑動的過程中，m勻速運動，有：vt=S₁        
M勻加速運動，有：

vt

2

=S₂      
根據題干的條件有：S₁-S₂=

L

2

      
聯立以上三式得：S₂=

L

2

（2）設m與M之間摩擦因數為μ₁，當桌面光滑時有：mgμ₁=Ma₁…①
v²=2a₁S₂…②
由①②③得：μ1=

Mv2

gmL

…③
（3）如果板與桌面有摩擦，因為M與桌面摩擦因數越大，m越易從右端滑下，所以當m滑到M右端兩者剛好共速時摩擦因數最小，設為μ₂
對M有：Ma₂=mgμ₁-（m+M）gμ₂ …④

v

2

t′=s′2…⑤
v²=2a₂s'₂…⑥
對m有：vt'=s'₁…⑦
s'₁-s'₂=L…⑧
聯立③④⑤⑥⑦⑧得：μ2=

Mv2

2(m+M)gL

所以桌面與板間的摩擦因數應滿足：μ≥

Mv2

2(M+m)gL

答：（1）當物體剛達木板中點時木板的位移為

L

2

．
（2）m與M之間摩擦因數

Mv2

mgL

．
（3）若木板與桌面之間有摩擦，為使物體能達到板的右端，板與桌面之間的動摩擦因數應滿足μ≥

Mv2

2(M+m)gL

．

點評：分析求出物體運動過程，應用牛頓第二定律、運動學公式、即可正確解題．