Question

如圖所示，在光滑固定的水平長桿上套著一個光滑的質量為m的滑環A，滑環通過一根不可伸長的輕繩懸吊一質量為M=3m的重物B，輕繩長為L．將滑環A固定在水平桿上，給B一個水平瞬時沖量作用，使B向左擺動，且恰好剛碰到水平桿．若滑環A不固定，仍給B以同樣大小的沖量作用，在此后的運動過程中，求：
（1）B離桿最近時的距離；
（2）B離桿最遠時B的速度以及A對桿的壓力．

Answer 1

分析：（1）先研究A固定的情形：B擺動過程中，遵守機械能守恒，可列式求出B擺動的初速度．再研究A不固定的情形：A、B系統在水平方向上動量守恒，在B擺到最高點時離桿最近，此時二者有相等的速度，根據動量守恒和機械能守恒列式求解；
（2）B離桿最遠時應在最低點，運用歸納法研究：運用動量守恒和機械能守恒列式分別求出第1次、第2次…回到最低點時B、A的速度，即可總結規律．根據牛頓第二定律求出繩子對B的拉力，即可求出A對桿的壓力．

解答：解：（1）環A固定時B擺動過程中，由機械能守恒得：

1

2

Mv02=MgL
解得B擺動的初速度：

v

0

=

2gL

當A不固定，對A、B系統在水平方向上動量守恒，且在B擺到最高點時離桿最近，此時二者有相等的速度v，則：Mv₀=（M+m）v
設B擺到最大高度時離桿的最近距離為h，由機械能守恒得：Mg(L-h)+

1

2

(M+m)v2=

1

2

M

v

2 0

解以上方程得：h=

3

4

L
（2）B離桿最遠時應在最低點，B從水平沖量作用獲得初速度v₀后到第1次回到最低點時，B、A速度分別設為v₁和v₂，此時A的速度達最大值．
由水平方向動量守恒得：Mv₀=Mv₁+mv₂…①
由機械能守恒得：

1

2

M

v

2 0

=

1

2

M

v

2 1

+

1

2

m

v

2 2

…②
解以上兩方程得：v1=

1

2

v0=

1

2

2gL

，v2=

3

2

v0=

3

2

2gL

第2次回到最低點時，B、A速度分別設為

v

′ 1

和

v

′ 2

，同理可得：
 Mv1+mv2=M

v

′ 1

+m

v

′ 2

…③

1

2

M

v

2 1

+

1

2

m

v

2 2

=

1

2

M

v

′2 1

+

1

2

m

v

′2 2

…④
解以上兩方程得：

v

′ 1

=v0=

2gL

，

v

′ 2

=0
以此類推可知：B奇數次經過最低點時速度為v1=

1

2

v0=

1

2

2gL

，方向向左；偶數次經過最低點時速度為

v

′ 1

=

2gL

，方向向左．
B奇數次經過最低點時繩對B的拉力為T=Mg+M

( v   1 -v2)2

L

=3mg+M

( 2gL )2

L

=9mg，環A對桿的壓力F=mg+9mg=10mg．
B偶數次經過最低點時繩對B的拉力為T′=Mg+M

( v ′ 1 - v ′ 2 )2

L

=3mg+M

( 2gL )2

L

=9mg，環A對桿的壓力F′=mg+9mg=10mg．
可見，無論B是奇數次經過最低點還是偶數次經過最低點，環A對桿的壓力相等．
答：
（1）B離桿最近時的距離是

3

4

L；
（2）B奇數次經過最低點時速度為v1=

1

2

v0=

1

2

2gL

，方向向左；偶數次經過最低點時速度為

v

′ 1

=

2gL

，方向向左．B經過最低點時環A對桿的壓力為10mg．

點評：解決本題關鍵要把握B離桿最近和最遠的條件，運用系統的水平方向動量守恒和機械能守恒列式求解．第2題也可以直接由①②兩方程得到兩組解：

v1= 3 2 v0，v2= 1 2 v0 v1=v0，v2=0

，以此同樣得出結論．