Question

如圖所示，坐標系xOy在豎直平面內，y軸沿豎直方向，第二、三和四象限有沿水平方向、垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度為B．第四象限的空間內有沿x軸正方向的勻強電場，場強為E．一個帶正電荷的小球從圖中x軸上的M點，沿著與水平方向成θ=30°角的斜向下的直線做勻速運動，經過y軸上的N點進入x＜0的區域內．要使小球進入x＜0區域后能在豎直面內做勻速圓周運動，需在x＜0區域內另加一勻強電場．（已知重力加速度為g）
（1）求在x＜0區域內所加勻強電場E₁的大小和方向；
（2）若帶電小球做圓周運動通過y軸上的P點（P點未標出），求小球從N點運動到P點所用的時間t；
（3）若在第一象限加一勻強電場，可使小球從P點沿直線運動到M點，求此電場強度的最小值E₂．

Answer 1

分析：（1）由題意，小球沿直線MN做勻速運動，分析受力，根據平衡條件可得到電場力qE與重力mg的關系；要使小球進入x＜0區域后能在豎直面內做勻速圓周運動，球受的重力mg必與電場力qE₁是一對平衡力，再由平衡條件得到qE₁與重力的關系，即可求出勻強電場E₁的大小和方向；并求出小球在第四象限運動的速度．
（2）小球從N點運動到P點過程，做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律和圓周運動的公式可求得周期，作出小球的軌跡，由幾何知識求得軌跡的圓心角，即可求出小球從N點運動到P點所用的時間t．
（3）小球從P點沿直線運動到M點，當電場力與PM連線垂直向上時，電場力最小，場強也最小，而且合力沿PM方向，由平行四邊形定則可求出此電場強度的最小值E₂．

解答：解：（1）小球在MN段受力如圖．由題意，小球在MN段球做勻速直線運動，所以球受到如圖所示的三個力而平衡所以有：mgtan30°=qE   ①
        qvBsin30°=qE  ②
要使小球進入x＜0區域后能在豎直面內做勻速圓周運動，球受的重力mg必與電場力qE₁是一對平衡力，則有
  qE₁=mg    ③
聯立①③解得：E₁=

3

E，方向豎直向上．
由①②得，v=

2E

B

  ④
（2）球在磁場中做勻速圓周運動的周期是：T=

2πR

v

⑤
而qvB=m

v2

R

，⑥
由④⑤⑥解得T=

2 3 πE

Bq

小球從N點運動到P點所用的時間t為 t=

2

3

T=

4 3 πE

3Bq

（3）小球從P點沿直線運動到M點，當電場力與PM連線垂直向上時，電場力最小，則有
   sin60°=

qE2

mg

解得，E₂=

3

2

E
答：
（1）在x＜0區域內所加勻強電場E₁的大小為E₁=

3

E，方向豎直向上；
（2）小球從N點運動到P點所用的時間t是

4 3 πE

3Bq

；
（3）要使小球從P點沿直線運動到M點，電場強度的最小值E₂是

3

2

E．

點評：本題的解題關鍵是抓住小球做勻速直線運動和勻速圓周運動的條件，分析受力情況，畫出運動軌跡．