Question

如圖所示，MN、PQ是足夠長的光滑平行導軌，其間距為L，且MP⊥MN．導軌平面與水平面間的夾角θ=30°．MP接有電阻R．有一勻強磁場垂直于導軌平面，磁感應強度為B₀．將一根質量為m的金屬棒ab緊靠MP放在導軌上，且與導軌接觸良好，金屬棒的電阻也為R，其余電阻均不計．現用與導軌平行的恒力F=mg沿導軌平面向上拉金屬棒，使金屬棒從靜止開始沿導軌向上運動，金屬棒運動過程中始終與MP平行．當金屬棒滑行至cd處時已經達到穩定速度，cd 到MP的距離為s．求：
（1）金屬棒達到穩定速度的大小；
（2）金屬棒從靜止開始運動到cd的過程中，電阻R上產生的熱量；
（3）若將金屬棒滑行至cd處的時刻記作t=0，從此時刻起，讓磁感應強度逐漸減小，可使金屬棒中不產生感應電流，寫出磁感應強度B隨時間t變化的關系式．

Answer 1

分析：（1）金屬棒先加速度減小的變加速運動，后做勻速運動，達到穩定狀態，根據平衡條件和安培力的表達式F=

B 2 0 L2v

2R

結合求出金屬棒達到穩定速度的大小；
（2）金屬棒從靜止開始運動到cd的過程中，恒力、重力和安培力對金屬棒做功，根據動能定理求得金屬棒克服安培力做功，由功能關系可知，電路中產生的總熱量等于金屬棒克服安培力做功，電阻R上產生的熱量等于總熱量的一半；
（3）當回路中的總磁通量不變時，金屬棒中不產生感應電流，此時金屬棒不受安培力而做勻加速運動，根據牛頓第二定律可求得加速度，根據t時刻回路的磁通量等于開始時刻的磁通量，即可求出B隨時間t變化的關系式．

解答：解：（1）當金屬棒穩定運動時做勻速運動，則有 F=mgsinθ+F_安
又安培力 F安=

B 2 0 L2v

2R

解得：v=

mgR

B 2 0 L2

（2）金屬棒從靜止開始運動到cd的過程，由動能定理得：
   Fs-mgssinθ-W克安=

1

2

mv2-0
解得：W克安=

1

2

mgs-

m3g2R2

2 B 4 0 L4

則根據功能關系得：回路中產生的總熱量為Q=W克安=

1

2

mgs-

m3g2R2

2 B 4 0 L4

故電阻R上產生的熱量為Q_R=

1

2

Q
則得  QR=

1

4

mgs-

m3g2R2

4 B 4 0 L4

（3）當回路中的總磁通量不變時，金屬棒中不產生感應電流．此時金屬棒將沿導軌做勻加速運動．
根據牛頓第二定律 F-mgsinθ=ma，
解得，a=

1

2

g
根據磁通量不變，則有
  B₀LS=BL（S+vt+

1

2

at2）
解得，B=

4 B 3 0 L2S

B 2 0 L2(4S+gt2)+4mgRt

答：（1）金屬棒達到穩定速度的大小是

mgR

B 2 0 L2

；
（2）金屬棒從靜止開始運動到cd的過程中，電阻R上產生的熱量是

1

4

mgs-

m3g2R2

4 B 4 0 L4

；
（3）磁感應強度B隨時間t變化的關系式為B=

4 B 3 0 L2S

B 2 0 L2(4S+gt2)+4mgRt

．

點評：本題是電磁感應中收尾速度問題，分別從力和能量兩個角度進行研究．當回路中的總磁通量不變時，金屬棒中不產生感應電流，根據磁通量的概念，即可得到B的表達式．