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【題目】某海域有兩個島嶼，島在島正東4海里處，經多年觀察研究發現，某種魚群洄游的路線是曲線，曾有漁船在距島、島距離和為8海里處發出過魚群。以所在直線為軸，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標系.

（1）求曲線的標準方程；

（2）某日，研究人員在兩島同時用聲納探測儀發出不同頻率的探測信號（傳播速度相同），兩島收到魚群在處反射信號的時間比為，問你能否確定處的位置（即點的坐標）？

【題目】設函數

（1）設，，證明：在區間內存在唯一的零點；

（2）設，若對任意，有，求的取值范圍．

【題目】函數對任意都有，則稱為在區間上的可控函數，區間稱為函數的“可控”區間，寫出函數的一個“可控”區間是________.

【題目】某汽車美容公司為吸引顧客,推出優惠活動:對首次消費的顧客,按/次收費,并注冊成為會員,對會員逐次消費給予相應優惠,標準如下:

該公司注冊的會員中沒有消費超過次的,從注冊的會員中,隨機抽取了100位進行統計,得到統計數據如下:

假設汽車美容一次,公司成本為元,根據所給數據,解答下列問題:

（1）某會員僅消費兩次,求這兩次消費中,公司獲得的平均利潤;

（2）以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率,設該公司為一位會員服務的平均利潤為元,求的分布列和數學期望.

【題目】設函數.

(Ⅰ) 求曲線在點處的切線方程；

(Ⅱ) 討論函數的單調性；

(Ⅲ) 設,當時,若對任意的，存在，使得≥，求實數的取值范圍.

【題目】在中，，分別為，的中點，，如圖1.以為折痕將折起，使點到達點的位置，如圖2.

如圖1 如圖2

（1）證明：平面平面；

（2）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值。

【題目】在三棱錐中，BO、AO、CO所在直線兩兩垂直，且AO=CO，∠BAO=60°，E是AC的中點，三棱錐的體積為

(1)求三棱錐的高；

(2)在線段AB上取一點D，當D在什么位置時，和的夾角大小為

【題目】市場上有一種新型的強力洗衣粉，特點是去污速度快，已知每投放（且）個單位的洗衣粉液在一定量水的洗衣機中，它在水中釋放的濃度（克/升）隨著時間（分鐘）變化的函數關系式近似為，其中，若多次投放，則某一時刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應時刻所釋放的濃度之和，根據經驗，當水中洗衣液的濃度不低于4（克/升）時，它才能起有效去污的作用.

（1）若只投放一次4個單位的洗衣液，則有效去污時間可能達幾分鐘？

（2）若先投放2個單位的洗衣液，6分鐘后投放個單位的洗衣液，要使接下來的4分鐘中能夠持續有效去污，試求的最小值（精確到0.1，參考數據： 取）.

（1）若首項為1的等差數列的每一項均為正整數，且數列為“D數列”，其前n項和滿足()，求數列的通項公式；

（2）已知等比數列的每一項均為正整數，且數列為“D數列”，，設()，試判斷數列是否為“D數列”，并說明理由.

【題目】已知橢圓()的右焦點為F，左頂點為A，離心率，且經過圓O:的圓心.過點F作不與坐標軸重合的直線和該橢圓交于MN兩點，且直線分別與直線交于PQ兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）證明:為直角三角形.