Question

【題目】定義:如果一個數列從第2項起，每一項與它前一項的差都大于或等于2，則稱這個數列為“D數列”.

（1）若首項為1的等差數列的每一項均為正整數，且數列為“D數列”，其前n項和滿足()，求數列的通項公式；

（2）已知等比數列的每一項均為正整數，且數列為“D數列”，，設()，試判斷數列是否為“D數列”，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）是，理由見解析

【解析】

(1) 設的公差為d,則，由每一項均為正整數，即 ，可求出.
(2).根據條件有，，，所以，在數列中，為最小項，由數列為“D數列”可知，只需，可求出，或，，然后再分別

判斷是否恒成立.

（1）設等差數列的公差為d，則，由，得.

由題意得，對均成立，

當時，上式成立.當時，，

又，∴，∴

∴等差數列的通項公式為.

（2）設等比數列的公比為q，則，

∵數列的每一項均為正整數，且，

∴，且q為整數

∵.

∴在數列中，為最小項，由數列為“D數列”可知，只需.
即，又，即.

由數列的每一項均為正整數，可得，∴，或，.①
當，時，，則.

令()，

則

∴.

∴數列為遞增數列，即.又.
∴對任意的都有.

∴數列是“D數列”. ②
當，時，，則.
令().

=
∴

∴數列為遞增數列，即.又.
∴對任意的都有，∴數列是“D數列”.綜上，數列是“D數列”