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【題目】已知四面體有五條棱長為3，且外接球半徑為2.動點P在四面體的內部或表面，P到四個面的距離之和記為s.已知動點P在，兩處時，s分別取得最小值和最大值，則線段長度的最小值為______.

【題目】高爾頓板是英國生物統計學家高爾頓設計用來研究隨機現象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃，讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞，且等可能向左或向右滾下，最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內.如圖所示的小木塊中，上面7層為高爾頓板，最下面一層為改造的高爾頓板，小球從通道口落下，第一次與第2層中間的小木塊碰撞，以的概率向左或向右滾下，依次經過6次與小木塊碰撞，最后掉入編號為1，2…，7的球槽內.例如小球要掉入3號球槽，則在前5次碰撞中有2次向右3次向左滾到第6層的第3個空隙處，再以的概率向左滾下，或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滾到第6層的第2個空隙處，再以的概率向右滾下.

(1)若進行一次高爾頓板試驗，求小球落入第7層第6個空隙處的概率；

(2)小明同學在研究了高爾頓板后，利用該圖中的高爾頓板來到社團文化節上進行盈利性“抽獎”活動，8元可以玩一次高爾頓板游戲，小球掉入X號球槽得到的獎金為元，其中.

（i）求X的分布列：

（ii）高爾頓板游戲火爆進行，很多同學參加了游戲，你覺得小明同學能盈利嗎？

【題目】已知函數.

（1）當且時，求函數的單調區間；

（2）當時，若函數的兩個極值點分別為、，證明.

【題目】我國古代數學家祖暅提出原理：“冪勢既同，則積不容異”.其中“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高.原理的意思是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平行平面的平面所截，若所截的兩個截面的面積恒相等，則這兩個幾何體的體積相等.如圖(1)，函數的圖象與x軸圍成一個封閉區域A（陰影部分），將區域A（陰影部分）沿z軸的正方向上移6個單位，得到一幾何體.現有一個與之等高的底面為橢圓的柱體如圖(2)所示，其底面積與區域A（陰影部分）的面積相等，則此柱體的體積為______.

【題目】如圖所示，將方格紙中每個小方格染三種顏色之一，使得每種顏色的小方格的個數相等.若相鄰兩個小方格的顏色不同，稱他們的公共邊為“分割邊”，則分割邊條數的最小值為( )

A.33B.56C.64D.78

A.B.C.D.

【題目】高爾頓板是英國生物統計學家高爾頓設計用來研究隨機現象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃，讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞，且等可能向左或向右滾下，最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內.如圖所示的小木塊中，上面7層為高爾頓板，最下面一層為改造的高爾頓板，小球從通道口落下，第一次與第2層中間的小木塊碰撞，以的概率向左或向右滾下，依次經過6次與小木塊碰撞，最后掉入編號為1，2…，7的球槽內.例如小球要掉入3號球槽，則在前5次碰撞中有2次向右3次向左滾到第6層的第3個空隙處，再以的概率向左滾下，或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滾到第6層的第2個空隙處，再以的概率向右滾下.

(1)若進行一次高爾頓板試驗，求小球落入第7層第6個空隙處的概率；

(2)小明同學在研究了高爾頓板后，利用該圖中的高爾頓板來到社團文化節上進行盈利性“抽獎”活動，8元可以玩一次高爾頓板游戲，小球掉入X號球槽得到的獎金為元，其中.

（i）求X的分布列：

（ii）高爾頓板游戲火爆進行，很多同學參加了游戲，你覺得小明同學能盈利嗎？

【題目】已知首項為的數列各項均為正數，且，.

(1)若數列的通項滿足，且，求數列的前n項和為；

(2)若數列的通項滿足，前n項和為，當數列是等差數列時，對任意的，均存在，使得成立，求滿足條件的所有整數構成的集合.

【題目】如圖，多面體是正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）沿平面切除一部分所得，其中平面為原正三棱柱的底面，，點D為的中點.

(1)求證：平面；

(2)求二面角的平面角的余弦值.

【題目】已知函數.

（1）當且時，求函數的單調區間；

（2）當時，若函數的兩個極值點分別為、，證明.