Question

【題目】已知函數.

（1）當且時，求函數的單調區間；

（2）當時，若函數的兩個極值點分別為、，證明.

Answer 1

【答案】（1）的單調遞增區間為，；無單調遞減區間；（2）證明見解析.

【解析】

(1)求得，分類討論，即可求解的單調區間，得到答案；

(2)根據是函數的兩個零點，設是方程的兩個實數解，再根據二次函數的性質函數在處取得極大值,在處取得極小值，進而得到，代入得，令，則，得到，設，利用導數求得函數的單調性與最值，即可求解．

(1)由題意，當時，，，

①當時，恒成立，所以函數在區間上單調遞增；

②當時，記，則，

所以當時，，∴單調遞減，且；

當時，，單調遞增，且，

所以當時，，函數單調遞增.

綜上所述，函數的單調遞增區間為，；無單調遞減區間.

(2)由，

，

是函數的兩個零點，

是方程的兩個實數解，

由，且，得，則有，

不妨設，

又，即得，

，，

即得，從而得到，

，且，

由二次函數的圖象及性質知函數在處取得極大值,在處取得極小值.

， （*）

又為方程的根，，

代人(*)式得，

令，則，，

設，，，單調遞減，

從而有，.

，即得證.