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在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O為正方形A₁B₁C₁D₁的中心，點P在棱CC₁上，且CC₁=2PC．
（1）求直線AP與平面BCC₁B₁所成角的余弦值；
（2）求二面角P-AD₁-D的平面角的余弦值；
（3）求點O到平面AD₁P的距離．

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°．已知PB=PD=2，PA=

6

．
（Ⅰ）證明：BD⊥面PAC
（Ⅱ）若E為PA的中點，求三菱錐P-BCE的體積．

如圖，四面體ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AC=AB，CB=CD，∠DCB=120°．點E在BD上，且DE=

1

3

DB．
（Ⅰ）求證：AB⊥CE；
（Ⅱ）若AC=CE，求二面角A-CD-B的余弦值．

如圖，三棱柱中ABC-A₁B₁C₁，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°，點M和N分別為線段A₁B₁和CC₁上的點，且A₁M=2MB₁，MN∥平面A₁BC．求證：
（1）AB⊥A₁C；
（2）CN=2NC₁．

已知α∈（0，

π

2

），sinα=

3

5

，求tanα．

用特征性質描述法表示：由北京一個城市構成的集合．

圓與橢圓有很多類似的性質，如圓的面積為πr²（r為圓的半徑），橢圓的面積為πab（a，b分別為橢圓的長、短半軸的長）．某同學研究了下面幾個問題：
（1）圓x²+y²=r²上一點（x₀，y₀）處的切線方程為x₀x+y₀y=r²，類似地，請給出橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點（x₀，y₀）處的切線方程（不必證明）；
（2）如圖1，TA，TB為圓x²+y²=r²的切線，A，B為切點，OT與AB交于點P，則OP•OT=r²．如圖2，TA，TB為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的切線，A，B為切點，OT與AB交于點P，請給出橢圓中的類似結論并證明．

（3）若過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上外一點M（s，t）作兩條直線與橢圓切于A，B兩點，且AB恰好過橢圓的左焦點，求證：點M在一條定直線上．

某校50名學生在一次科普知識競賽中，初賽成績全部介于60與100之間，將初賽成績按如下方式分成四組：第一組[60，70]，第二組[70，80]，…，第四組[90，100]．如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求成績在[80，90]范圍內的人數；
（Ⅱ）決賽規則如下：為每位參加決賽的選手準備4道判斷題，選手對其依次回答，答對兩道就終止答題，并獲得一等獎，若題目答完仍然只答對l道，則獲得二等獎，否則獲得三等獎．某同學進入決賽，每道題答對的概率p的值恰好與成績不少于80分的頻率值相同．
（i）求該同學恰好答滿4道題而獲得一等獎的概率；
（ii）設該同學決賽中答題個數為X，求X的分布列及X的數學期望．

如圖，在三棱錐P-ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，E，F分別為PB，PC的中點．
（1）求證：EF∥平面ABC；
（2）求證：平面AEF⊥平面PAB．

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA₁=2．以AB，BC為鄰邊作平行四邊形ABCD，連接DA₁和DC₁．
（Ⅰ）求證：A₁D∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求直線CC₁與平面DA₁C₁所成角的正弦值．