Question

已知二次函數y=ax²（a＞0），點P（1，-2）．若存在兩條都過點P且互相垂直的直線l₁和l₂，它們與二次函數y=ax²（a＞0）的圖象都沒有公共點，則a的取值范圍為（　　）

• A、（

  1

  8

  ，+∞）
• B、[

  1

  8

  ，+∞）
• C、（0，

  1

  8

  ）
• D、（0，

  1

  8

  ）

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：易知l₁斜率存在，且不為0．設l₁的斜率為k，則l₁的斜率為-

1

k

，則l₁的方程為y+2=k（x-1），l₂的方程為y+2=-

1

k

（x-1）．若直線l₁和l₂，它們與二次函數y=ax²（a＞0）的圖象都沒有公共點，則他們的方程與拋物線方程聯立所得的方程無解，進而得到滿足條件的a的取值范圍．

解答： 解：易知l₁斜率存在，且不為0．設l₁的斜率為k，則l₁的斜率為-

1

k

，
則l₁的方程為y+2=k（x-1），l₂的方程為y+2=-

1

k

（x-1）．
由

y=ax2 y+2=k(x-1)

得，ax²-kx+k+2=0．
由l₁與二次函數y=ax²（a＞0）的圖象沒有公共點知，△1=k2-4a(k+2)＜0…①．
同理，由l₂與二次函數y=ax²（a＞0）的圖象沒有公共點知，△2=(-

1

k

)2-4a(-

1

k

+2)＜0…②．
由①得2a-2

a2+2a

＜k＜2a+2

a2+2a

；
由②得k＜

a- a2+2a

4a

，或k＞

a+ a2+2a

4a

．
依題意，方程組①②有解．
∵若方程組①②無解?2a-2

a2+2a

≥

a- a2+2a

4a

且2a+2

a2+2a

≤

a+ a2+2a

4a

，即0＜a≤

1

8

．
∴方程組①②有解?a＞

1

8

．
故a的取值范圍為（

1

8

，+∞）．
故選：A

點評：本題考查的知識點是二次函數的性質，其中將直線與拋物線沒有交點，轉化為聯立所得的方程組無解，是解答的關鍵．