Question

已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的周期為π，其最高點的坐標為（

π

6

，1）
（1）求φ和ω的值
（2）求f（x）的單調增區間
（3）當x∈[0，

π

2

]時，求函數的值域．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）由周期求得ω，再根據最高點的坐標以及0≤φ≤π，可得φ的值．
（2）由于f（x）=sin（2x+

π

6

），令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數的增區間．（3）由x∈[0，

π

2

]，利用正弦函數的定義域和值域，求得函數的值域．

解答： 解：（1）由題意可得

2π

ω

=π，∴ω=2．
再根據最高點的坐標為（

π

6

，1），可得 sin（

π

3

+φ）=1，再結合0≤φ≤π，可得φ=

π

6

．
（2）由于f（x）=sin（2x+

π

6

），令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，
求得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，故函數的增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（3）由x∈[0，

π

2

]，可得2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
故函數的值域為[-

1

2

，1]．

點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由周期求出ω，由最高點的坐標求出φ的值，正弦函數的單調性、定義域和值域，屬于基礎題．