Question

已知{a_n}是公差為d的等差數列，它的前n項和為S_n．等比數列{b_n}的前n項和為T_n，且S₄=2S₂+4，，．
（Ⅰ）求公差d的值；
（Ⅱ）若對任意的n∈N^*，都有S_n≥S₈成立，求a₁的取值范圍；
（Ⅲ）若，判別方程S_n+T_n=55是否有解？并說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵S₄=2S₂+4，
∴4a₁+d=2（2a₁+d）+4，解得d=1．…3
（Ⅱ）∵等差數列{a_n}的公差d=1＞0，S_n要取得最小值S₈，必須有，即．
求得-8≤a₁≤-7，
∴a₁的取值范圍是[-8，-7]．…4
（Ⅲ）由于等比數列{b_n}滿足，，即，解得b₁=，q=，
∴，又S_n=na₁+n（n-1）d=n²，…2
則方程S_n+T_n=55轉化為：n²+[1-]=110．
令：f（n）=n²+1-，知f（n）單調遞增，
當1≤n≤10時，f（n）≤100+[1-]＜100+1=101，
當n≥11時，f（n）≥11²+[1-]＞11²=121，所以方程S_n+T_n=55無解．…3
分析：（Ⅰ）由S₄=2S₂+4，可求得公差d的值；
（Ⅱ）依題意，等差數列{a_n}的公差d=1＞0，S_n要取得最小值S₈，須，從而可求a₁的取值范圍；
（Ⅲ）由題意可求得b₁=，q=，從而求得T_n，由等差數列的求和公式求得S_n，再結合S_n+T_n=55即可分析得到答案．
點評：本題考查數列與不等式的綜合，著重考查等差數列與等比數列的求和，突出考查轉化思想與方程思想、分類討論思想的應用，屬于難題．