Question

已知{a_n}是公差為d的等差數列，{b_n}是公比為q的等比數列
（1）若a_n=3n+1，是否存在m，n∈N^*，有a_m+a_m+1=a_k？請說明理由；
（2）若b_n=aqⁿ（a、q為常數，且aq≠0）對任意m存在k，有b_m•b_m+1=b_k，試求a、q滿足的充要條件；
（3）若a_n=2n+1，b_n=3ⁿ試確定所有的p，使數列{b_n}中存在某個連續p項的和式數列中{a_n}的一項，請證明．

Answer 1

分析：（1）把a_n的通項公式代入a_m+a_m+1=a_k，整理可得k和m的關系式，結果為分數，根據m、k∈N，可知k-2m也應該為整數，進而可判定不存在n、k∈N^*，使等式成立．
（2）利用特殊值法，令m=1，則可知b₁•b₂=b_k，把等比數列的通項公式代入整理可得a=q^c，其中c是大于等于-2的整數；反之a=q^c時，其中c是大于等于-2的整數，則b_n=q^n+c，代入b_m•b_m+1中整理得b_m•b_m+1=b_k，進而可判斷a、q滿足的充要條件是a=q^c，其中c是大于等于-2的整數
（3）設b_m+1+b_m+2+…+b_m+p=a_k，先看當p為偶數時等式左邊為偶數，右邊為奇數，等式不可能成立；再看當p=1時，等式成立，當p≥3且為奇數時，根據b_m+1+b_m+2+…+b_m+p=a_k，整理可得3^m+1（3^p-1）=4k+2，進而可知3^m+1[2（C_p²+C_p²•2²++C_p^p•2^p-2）+p]=2k+1，此時，一定有m和k使上式一定成立．綜合可知當p為奇數時，命題都成立．

解答：解：（1）由a_m+a_m+1=a_k，得6m+6+3k+1，
整理后，可得k-2m=

4

3

，∵m、k∈N，
∴k-2m為整數∴不存在n、k∈N^*，使等式成立．
（2）當m=1時，則b₁•b₂=b_k，
∴a²•q³=aq^k∴a=q^k-3，即a=q^c，其中c是大于等于-2的整數
反之當a=q^c時，其中c是大于等于-2的整數，則b_n=q^n+c，
顯然b_m•b_m+1=q^m+c•q^m+1+c=q^2m+1+2c=b_k，其中k=2m+1+c
∴a、q滿足的充要條件是a=q^c，其中c是大于等于-2的整數
（3）設b_m+1+b_m+2+…+b_m+p=a_k
當p為偶數時，（*）式左邊為偶數，右邊為奇數，
當p為偶數時，（*）式不成立．
由（*）式得

3m+1(1-3p)

1-3

=2k+1，
整理得3^m+1（3^p-1）=4k+2
當p=1時，符合題意．
當p≥3，p為奇數時，3^p-1=（1+2）^p-1
=C_p⁰+C_p¹•2¹+C_p²•2²++C_p^p•2^p-1
=C_p¹•2¹+C_p²•2²++C_p^p•2^p
=2（C_p¹+C_p²•2++C_p^p•2^p-1）
=2[2（C_p²+C_p²•2²++C_p^p•2^p-2）+p]
∴由3^m+1（3^p-1）=4k+2，得3^m+1[2（C_p²+C_p²•2²++C_p^p•2^p-2）+p]=2k+1
∴當p為奇數時，此時，一定有m和k使上式一定成立．
∴當p為奇數時，命題都成立．

點評：本題主要考查了等比數列和等差數列的性質．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．