Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分別是B1C1、BC的中點，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1E= ．
（Ⅰ）證明：A1D⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣B1的平面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分別是B1C1、BC的中點，∠BAC=90°，AB=AC=2， ∴A1D∥AE，AE⊥BC，AE=BE= ，
∵A1A=4，A1E= ．
∴A1E2+AE2= ，∴AE⊥A1E，
∵A1E∩BC=E，∴AE⊥平面A1BC，
∵A1D∥AE，∴A1D⊥平面A1BC．
（Ⅱ）解：如圖，以BC中點O為坐標原點，以OB、OA、OA1所在直線分別為x、y、z軸建系．

易知A1（0，0， ），B（ ，0，0），C（﹣ ，0，0），
A（0， ，0），D（0，﹣ ， ），B1（ ，﹣ ， ），
設平面A1BD的法向量為 =（x，y，z），
由 ，可取 ．
設平面B1BD的法向量為 =（x，y，z），
由 ，可取 ．
cos＜ ＞=
又∵該二面角為鈍角，
∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值為﹣ ．
【解析】（1）先證AE⊥平面A1BC，再證A1D∥AE即可‘’（2）所求值即為平面A1BD的法向量與平面B1BD的法向量的夾角的余弦值的絕對值的相反數，計算即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．