Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知曲線上的動點到點的距離與到直線的距離相等．

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）過點分別作射線、交曲線于不同的兩點、，且．試探究直線是否過定點？如果是，請求出該定點；如果不是，請說明理由

Answer 1

【答案】（1） （2）直線經過定點，理由見解析.

【解析】

（1）設出的坐標，利用已知條件列出方程，即可求解軌跡方程．
（2）直線斜率不能為0，設直線的方程為，聯立得，，設，通過得到關系式，利用點在拋物線上，轉化求解直線系方程直線方程，推出結果．

（1）設動點，依題意動點到點的距離與到直線.
可得，即.

化簡得，∴曲線的軌跡方程為．
（2）直線經過定點.
依題意，直線斜率不能為0，所以設直線的方程為

聯立得，①，
設，則．
又
即 ，
即
又

所以

∴

即

或

依題意，直線:不經過，∴.

所以
而當時，直線方程為，即.
即直線過定點．

綜上，直線過定點．