Question

已知a+b+c=1，
（1）求S=2a²+3b²+c²的最小值及取最小值時a，b，c的值．
（2）若2a²+3b²+c²=1，求c的取值范圍．

Answer 1

考點：柯西不等式

專題：選作題,不等式

分析：對于“積和結構”或“平方和結構”，通常構造利用柯西不等式求解即可．（1）根據柯西不等式，（2a²+3b²+c²）（

1

2

+

1

3

+1）≥（a+b+c）²；（2）根據柯西不等式得：（a+b）²≤（2a²+3b²）（

1

2

+

1

3

），即可得出結論．

解答： 解：（1）根據柯西不等式，（2a²+3b²+c²）（

1

2

+

1

3

+1）≥（a+b+c）²
∵a+b+c=1，∴S≥

6

11

，等號成立的條件是a=

3

11

，b=

2

11

，c=

6

11

．
∴當a=

3

11

，b=

2

11

，c=

6

11

時，S=2a²+3b²+c²的最小值為

6

11

．
（2）根據條件可得：a+b=1-c，2a²+3b²=1-c²，
根據柯西不等式得：（a+b）²≤（2a²+3b²）（

1

2

+

1

3

），
∴（1-c）²≤

5

6

（1-c²），解之得

1

11

≤c≤1．

點評：柯西不等式的特點：一邊是平方和的積，而另一邊為積的和的平方，因此，當欲證不等式的一邊視為“積和結構”或“平方和結構”，再結合不等式另一邊的結構特點去嘗試構造．