Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為菱形，四邊形ACEF為平行四邊形，設BD與AC相交于點G，AB=BD=2，AE= ，∠EAD=∠EAB．
（1）證明：平面ACEF⊥平面ABCD；
（2）若AE與平面ABCD所成角為60°，求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接EG，

∵四邊形ABCD為菱形，∴AD=AB，BD⊥AC，DG=GB，

在△EAD和△EAB中，

AD=AB，AE=AE，∠EAD=∠EAB，

∴△EAD≌△EAB，

∴ED=EB，則BD⊥EG，

又AC∩EG=G，∴BD⊥平面ACEF，

∵BD平面ABCD，

∴平面ACEF⊥平面ABCD

（2）解法一：過G作EF的垂線，垂足為M，連接MB，MG，MD，

易得∠EAC為AE與面ABCD所成的角，

∴∠EAC=60°，

∵EF⊥GM，EF⊥BD，

∴EF⊥平面BDM，

∴∠DMB為二面角B﹣EF﹣D的平面角，

可求得MG= ，DM=BM= ，

在△DMB中，由余弦定理可得：cos∠BMD= ，

∴二面角B﹣EF﹣D的余弦值為 ；

解法二：如圖，在平面ABCD內，過G作AC的垂線，交EF于M點，

由（1）可知，平面ACEF⊥平面ABCD，

∵MG⊥平面ABCD，

∴直線GM、GA、GB兩兩互相垂直，

分別以GA、GB、GM為x、y、z軸建立空間直角坐標系G﹣xyz，

可得∠EAC為AE與平面ABCD所成的角，∴∠EAC=60°，

則D（0，﹣1，0），B（0，1，0），E（ ），F（ ），

， ，

設平面BEF的一個法向量為 ，則

，

取z=2，可得平面BEF的一個法向量為 ，

同理可求得平面DEF的一個法向量為 ，

∴cos＜ ＞= = ，

∴二面角B﹣EF﹣D的余弦值為 ．

【解析】（1）連接EG，由四邊形ABCD為菱形，可得AD=AB，BD⊥AC，DG=GB，可證△EAD≌△EAB，進一步證明BD⊥平面ACEF，則平面ACEF⊥平面ABCD；（2）法一、過G作EF的垂線，垂足為M，連接MB，MG，MD，可得∠EAC為AE與面ABCD所成的角，得到EF⊥平面BDM，可得∠DMB為二面角B﹣EF﹣D的平面角，在△DMB中，由余弦定理求得∠BMD的余弦值，進一步得到二面角B﹣EF﹣D的余弦值；法二、在平面ABCD內，過G作AC的垂線，交EF于M點，由（1）可知，平面ACEF⊥平面ABCD，得MG⊥平面ABCD，則直線GM、GA、GB兩兩互相垂直，分別以GA、GB、GM為x、y、z軸建立空間直角坐標系G﹣xyz，分別求出平面BEF與平面DEF的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角B﹣EF﹣D的余弦值．
【考點精析】通過靈活運用平面與平面垂直的判定，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直即可以解答此題．