Question

已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點F₂與拋物線C₂：y²=4x的焦點重合，橢圓C₁與拋物線C₂在第一象限的交點為P，|PF2|=

5

3

．圓C₃的圓心T是拋物線C₂上的動點，圓C₃與y軸交于M，N兩點，且|MN|=4．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）證明：無論點T運動到何處，圓C₃恒經(jīng)過橢圓C₁上一定點．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的方程，求出焦點坐標(biāo)，然后求出橢圓的坐標(biāo)，通過定義建立方程，化簡即可得到橢圓C₁的方程．
（2）設(shè)出點T的坐標(biāo)，將拋物線方程代入圓的方程，得到一元二次方程，證明此方程恒成立即可．

解答：解：（1）：∵拋物線C₂：y²=4x的焦點坐標(biāo)為（1，0），
∴點F₂的坐標(biāo)為（1，0）．
∴橢圓C₁的左焦點F₁的坐標(biāo)為F₁（-1，0），
拋物線C₂的準(zhǔn)線方程為x=-1．
設(shè)點P的坐標(biāo)為（x₁，y₁），
由拋物線的定義可知|PF₂|=x₁+1，
∵|PF2|=

5

3

，
∴x1+1=

5

3

，解得x1=

2

3

．
由y12=4x1=

8

3

，且y₁＞0，得y1=

2

3

6

．
∴點P的坐標(biāo)為(

2

3

，，

2

3

6

)．
在橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，c=1.2a=|PF1|+|PF2|=

( 2 3 +1)2+( 2 3 6 -0)2

+

( 2 3 -1)2+( 2 3 6 -0)2

=4．
∴a=2，b=

a2-c2

=

3

．
∴橢圓C₁的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）證明：設(shè)點T的坐標(biāo)為（x₀，y₀），圓C₃的半徑為r，
∵圓C₃與y軸交于M，N兩點，且|MN|=4，
∴|MN|=2

r2- x 2 0

=4．
∴r=

4+ x 2 0

．
∴圓C₃的方程為（x-x₀）²+（y-y₀）²=4+x₀²．（*）
∵點T是拋物線C₂：y²=4x上的動點，
∴y₀²=4x₀（x₀≥0）．
∴x0=

1

4

y

2 0

．
把x0=

1

4

y

2 0

代入（*）
消去x₀整理得：(1-

x

2

)

y

2 0

-2yy0+(x2+y2-4)=0．（**）
方程（**）對任意實數(shù)y₀恒成立，
∴

1- x 2 =0 -2y=0 x2+y2-4=0.

解得

x=2 y=0.

∵點（2，0）在橢圓C₁：

x2

4

+

y2

3

=1上，
∴無論點T運動到何處，圓C₃恒經(jīng)過橢圓C₁上一定點（2，0）．

點評：本小題主要考查直線、圓、拋物線、橢圓等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．