Question

已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一條準線方程是x=

25

4

，其左、右頂點分別是A、B；雙曲線C2：

x2

a2

-

y2

b2

=1的一條漸近線方程為3x-5y=0．
（1）求橢圓C₁的方程及雙曲線C₂的離心率；
（2）在第一象限內取雙曲線C₂上一點P，連接AP交橢圓C₁于點M，連接PB并延長交橢圓C₁于點N，若

AM

=

MP

．求

MN

•

AB

的值．

Answer 1

分析：（1）由已知

a2 c = 25 4 b a = 3 5 c2=a2-b2

解得：

a=5 b=3 c=4

，由此能夠求出橢圓C₁的方程及雙曲線C₂的離心率．
（2）由A（-5，0），B（5，0），設M(x0，y0)，則由

AM

=

MP

，得M為AP的中點，P點坐標為（2x₀+5，2y₀），將M、P坐標代入C₁、C₂方程得

x02 25 + y02 9 =1 (2x0+5)2 25 - y02 9 =1

，解之得P（10，3

3

)，直線PB：y=

3 3

5

(x-5)，由此能夠求出

MN

•

AB

=0．

解答：解：（1）由已知

a2 c = 25 4 b a = 3 5 c2=a2-b2

解得：

a=5 b=3 c=4

∴橢圓的方程為

x2

25

+

y2

9

=1，雙曲線的方程

x2

25

-

y2

9

=1．
又c′=

25+9

=

34

，
∴雙曲線的離心率e2=

34

5

（5分）
（2）由（Ⅰ）A（-5，0），B（5，0），設M(x0，y0)，則由

AM

=

MP

得M為AP的中點，∴P點坐標為（2x₀+5，2y₀）
將M、P坐標代入C₁、C₂方程得

x02 25 + y02 9 =1 (2x0+5)2 25 - y02 9 =1

，
消去y₀得2x₀²+5x₀-25=0，
解之得x0=

5

2

或x0=-5(舍)，
由此可得P（10，3

3

)，直線PB：y=

3 3

10-5

(x-5)，
即y=

3 3

5

(x-5)
代入

x2

25

+

y2

9

=1得：2x2-15x+25=0，
∴x=

5

2

或5(舍)∴xN=

5

2

，∴x_N=x_M，
故MN⊥x軸，所以

MN

•

AB

=0（12分）

點評：本題考查橢圓方程及雙曲線離心率的求法，計算

MN

•

AB

的值．解題時要熟練掌握解決直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓錐曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．