Question

已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，直線l：y=x+2

2

與以原點為圓心、以橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程．
（Ⅱ）設橢圓C₁的左焦點為F₁，右焦點為F₂，直線l₁過點F₁，且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直l₁于點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程；
（Ⅲ）若AC、BD為橢圓C₁的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點F₂，求四邊形ABCD的面積的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設條件知a²=2b²，再由直線l：x-y+2=0與圓x²+y²=b²相切，知

2 2

2

=b，由此可求出橢圓C₁的方程．
（Ⅱ）由MP=MF₂，知動點M到定直線l₁：x=-2的距離等于它到定點F₂（2，0）的距離，由此可求出點M的軌跡C₂的方程．
（Ⅲ）當直線AC的斜率存在且不為零時，設直線AC的斜率為k，A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則直線AC的方程為y=k（x-2），聯立

x2

8

+

y2

4

=1及y=k（x-2）得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0．然后利用根與系數的關系結合題設條件進行求解．

解答：解：（Ⅰ）∵e=

2

2

，∴e²=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

，∴a²=2b²
∵直線l：x-y+2=0與圓x²+y²=b²相切
∴

2 2

2

=b，∴b=2，b²=4，∴a²=8，
∴橢圓C₁的方程是

x2

8

+

y2

4

=1（3分）
（Ⅱ）∵MP=MF₂，
∴動點M到定直線l₁：x=-2的距離等于它到定點F₂（2，0）的距離，
∴動點M的軌跡C是以l₁為準線，F₂為焦點的拋物線
∴點M的軌跡C₂的方程為y²=8x（6分）

（Ⅲ）當直線AC的斜率存在且不為零時，設直線AC的斜率為k，
A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則直線AC的方程為y=k（x-2）
聯立

x2

8

+

y2

4

=1及y=k（x-2）得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0
所以x₁+x₂=

8k2

1+2k2

，x₁x₂=

8k2-8

1+2k2

|AC|=

(1+k2)(x1-x2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

32 (k2+1)

1+2k2

．（8分）
由于直線BD的斜率為-

1

k

，用-

1

k

代換上式中的k可得|BD|=

32 (1+k2)

k2+2

∵AC⊥BD，
∴四邊形ABCD的面積為S=

1

2

|AC|•|BD|=

16(1+k2)2

(k2+2)(1+2k2)

..（10分）
由（1+2k²）（k²+2）≤[

(1+2k2)+(k2+2)

2

]²=[

3(k2+1)

2

]²
所以S≥

64

9

，當1+2k²=k²+2時，即k=±1時取等號．（11分）
易知，當直線AC的斜率不存在或斜率為零時，四邊形ABCD的面積S=8
綜上可得，四邊形ABCD面積的最小值為

64

9

（12分）

點評：本題考查圓錐曲線和直線的位置關系和綜合應用，解題時要認真審題，注意韋達定理的合理運用．