Question

【題目】如圖，拋物線： 與橢圓： 在第一象限的交點為， 為坐標原點， 為橢圓的右頂點， 的面積為.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）過點作直線交于、 兩點，射線、分別交于、兩點，記和的面積分別為和，問是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）存在直線符合條件

【解析】試題分析：（1）設，因為的面積為，求得，代入拋物線即可求，則拋物線方程可求；（2），則設法求出與的表達式，并找到它們之間的聯系.為此，設直線的方程為.與聯立，設， ，可知， .直線OC的方程為，與聯立并整理得，則可求，直線方程可得.

試題解析：（1）因為的面積為，設，所以，

代入橢圓方程得，拋物線的方程是： .

（2）存在直線符合條件. 顯然直線不垂直于y軸，故直線的方程可設為.與聯立，設，

理由：顯然直線不垂直于y軸，故直線的方程可設為，

與聯立得.

設， ，則， ，

∴.

由直線OC的斜率為

，故直線OC的方程為，與聯立得

，同理， ，

所以.

可得，

要使，只需，

即，解得，

所以存在直線符合條件.