Question

【題目】已知直三棱柱的所有棱長都相等，且， ， ，分別為， ， 的中點．

（1）求證：平面平面．

（2）求證： 平面．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：

（）由題意可得四邊形是平行四邊形， ，則平面；由三角形中位線的性質可得，則平面；由面面平行的判斷定理可得平面平面．

（）由直三棱柱的性質可得，等腰三角形三線合一，則，據此可得平面，故．由菱形的性質可得，結合線面垂直的判斷定理可得平面．

試題解析：

（）由已知可得， ，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面；

又， 分別是， 的中點，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面；

∵， 平面， 平面，

∴平面平面．

（）∵三棱柱是直三棱柱，

∴平面，

又∵平面，

∴，

又∵直三棱柱的所有棱長都相等， 是邊中點，

∴是正三角形，

∴，

而， 平面， 平面，

∴平面，

故．

∵四邊形是菱形，

∴，

而，故，

由， 平面， 平面，

得平面．