Question

已知圓x²+y²=16與斜率為-

1

2

的直線相切，求這條切線方程和切點坐標．

Answer 1

分析：設出切線方程為y=-

1

2

x+b，利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，根據d=r列出關于b的方程，求出方程的解得到b的值，確定出切線方程，將切線方程與圓方程聯立即可求出切點坐標．

解答：解：設切線方程為y=-

1

2

x+b，即x+2y-2b=0，
∵圓心到切線的距離d=r，即

|-2b|

5

=4，
解得：b=±2

5

，
∴切線方程為x+2y+4

5

=0或x+2y-4

5

=0，
聯立切線與圓方程得：

x+2y+4 5 =0 x2+y2=16

或

x+2y-4 5 =0 x2+y2=16

，
解得：

x= 4 5 5 y= 8 5 5

或

x=- 4 5 5 y=- 12 5 5

，
則切點坐標為（

4 5

5

，

8 5

5

）或（-

4 5

5

，-

12 5

5

）．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，當直線與圓相切時，圓心到切線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質是解本題的關鍵．