Question

已知圓x²+y²=1與拋物線y=x²+h有公共點，則實數h的取值范圍是

h∈[-

5

4

，1]

．

Answer 1

分析：題目給出的圓是單位圓，而拋物線是以y軸為對稱軸，開口向上的拋物線，顯然，h不能大于1，當拋物線向下平移時，還要保證拋物線與圓至少相切，聯立拋物線方程與圓的方程后，化為關于y的一元二次方程，只要讓判別式大于等于0，即可求得h≥-

5

4

，取交集即可得到h的范圍．

解答：解：如圖，
由

x2+y2=1 y=x2+h

，得：y²+y-h-1=0，
要使圓x²+y²=1與拋物線y=x²+h有公共點，
則關于y的一元二次方程y²+y-h-1=0有實數根，
則△=1²-4×1×（-h-1）≥0，
解得：h≥-

5

4

．
由圖象可知h≤1．
所以，使得圓x²+y²=1與拋物線y=x²+h有公共點的實數h的取值范圍是[-

5

4

，1]．
故答案為[-

5

4

，1]．

點評：本題考查了圓與圓錐曲線的位置關系，考查了數形結合的解題思想，解答此題時，如果僅限于聯立后的方程的判別式大于等于0，將會得到錯誤的答案，原因是方程y²+y-h-1=0不能取到所有實數y，此題是中檔題．