Question

已知圓x²+y²=1和直線y=2x+b相交于A，B兩點，且OA，OB是x軸正方向沿逆時針分別旋轉α，β角而得，則cos（α+β）的值為（　　）

• A、

  b+3

  b2+5

• B、

  3

  5

• C、

  3

  b2+5

• D、

  3 5 |b|+15

  5b2+25

Answer 1

分析：將圓的方程x²+y²=1和直線y=2x+b的方程聯立，利用韋達定理與兩角和的余弦即可求得cos（α+β）的值．

解答：解：由

x2+y2=1 y=2x+b

消去y得：5x²+4bx+b²-1=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁、x₂是方程5x²+4bx+b²-1=0的兩根，
∴由韋達定理得：x₁+x₂=-

4b

5

，x₁x₂=

b2-1

5

，
∴y₁y₂=（2x₁+b）（2x₂+b）
=4x₁x₂+2b（x₁+x₂）+b²
=

4(b2-1)

5

-

8

5

b²+b²
=

b2-4

5

，
又cosα=x₁，cosβ=x₂，sinα=y₁，sinβ=y₂，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
=x₁x₂-y₁y₂
=

b2-1

5

-

b2-4

5

=

3

5

．
故選：B．

點評：本題考查兩角和與差的余弦函數，著重考查直線與圓的位置關系，韋達定理的應用是關鍵，考查轉化思想與運算能力，屬于中檔題．