Question

【題目】已知點A，B的坐標分別是（，0），（，0），動點M（x，y）滿足直線AM和BM的斜率之積為﹣3，記M的軌跡為曲線E．

（1）求曲線E的方程；

（2）直線y＝kx+m與曲線E相交于P，Q兩點，若曲線E上存在點R，使得四邊形OPRQ為平行四邊形（其中O為坐標原點），求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），（y≠0）；（2）（﹣∞，]∪[，+∞）．

【解析】

（1）根據題意得kAMkBM3，（y≠0），化簡可得曲線E的方程．

（2））設P（x1，y1），Q（x2，y2），聯立直線與曲線E的方程，得關于x的一元二次方程，結合韋達定理得x1+x2，y1+y2，△＞0①，根據題意得PQ的中點也是OR的中點，得R點的坐標，再代入曲線E的方程，得2m2＝k2+3②，將②代入①得m的取值范圍．

解：（1）kAMkBM3，（y≠0）

化簡得曲線E的方程：．（y≠0）

（2）設P（x1，y1），Q（x2，y2）

聯立，得（3+k2）x2+2kmx+m2﹣6＝0，

x1+x2，y1+y2＝k（x1+x2）+2m，

△＝（2km）2﹣4×（3+k2）（m2﹣6）＝﹣12m2+24k2+72＞0，即﹣m2+2k2+6＞0，①

若四邊形OPRQ為平行四邊形，則PQ的中點也是OR的中點，

所以R點的坐標為（，），

又點R在曲線E上得，化簡得2m2＝k2+3②

將②代入①得，m2＞0，所以m≠0，由②得2m2≥3，所以m或m

所以m的取值范圍為（﹣∞，]∪[，+∞）．