Question

【題目】已知橢圓C：（）的左、右焦點分別為、，離心率為，點P是橢圓C上的一個動點，且面積的最大值為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）橢圓C與x軸交于A、B兩點，直線和與直線l：分別交于點M，N，試探究以為直徑的圓是否恒過定點，若是，求出所有定點的坐標：若否，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）過定點，和

【解析】

（1）根據的一邊為定值，由此可知當P為C的短軸頂點時，面積最大，再結合題目條件，即可解出，得到橢圓C的方程；

（2）由（1）中方程，不妨設，，根據，設直線的方程為，即可得直線的方程為，與直線聯立，可得到點的坐標，由此得到以為直徑的圓的方程，即可求出所有定點的坐標．

（1）∵橢圓C的離心率為，當P為C的短軸頂點時，

的面積有最大值.

∴，解得，

故橢圓C的方程為：.

（2）不妨設，，，

則，

設：，∴：，

所以，，

以為直徑的圓是，即

令，得，解得，，

故以為直徑的圓恒過和．