Question

【題目】設F1,F2分別為橢圓C

(1)若橢圓C上的點

(2)設點K是(1)中所得橢圓上的動點,求線段F1K的中點的軌跡方程;

(3)已知橢圓具有性質:若M,N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點,點P是橢圓上任意一點,當直線PM,PN的斜率都存在,并記為kPM,kPN時,那么kPM與kPN之積是與點P位置無關的定值,試寫出雙曲

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析

【解析】

分析：（1）到兩交點的距離之和為4，點在曲線上，列出的方程求解即可。

（2）設橢圓上的動點為，線段的中點,利用中點的坐標關系式，列出與的坐標關系，用表示出，代入橢圓方程即可。

（3）分別設出的坐標，表示出斜率化簡整理即可。

詳解：(1)橢圓C的焦點在x軸上.由橢圓上的點A到F1,F2兩點的距離之和是4,得2a=4,即a=2.

又點A,

∴+=1,b2=3.

∴c2=a2-b2=1.

∴橢圓C的方程+=1,焦點F1(-1,0),F2(1,0).

(2)設橢圓C上的動點為K(x1,y1),線段F1K的中點Q(x,y)滿足:x=,y=,

∴x1=2x+1,y1=2y.

∴+=1,

+=1為所求的軌跡方程.

(3)類似的性質為:若M,N是雙曲-=1(a>0,b>0)上關于原點對稱的兩個點,點P是雙曲線上任意一點,當直線PM,PN的斜率都存在,并記為kPM,kPN時,那么kPM與kPN之積是與點P位置無關的定值.

證明:設點M的坐標為(m,n),則點N的坐標為(-m,-n),其-=1.

又設點P的坐標為(x,y),

∵kPM=,kPN=,

∴kPM·kPN=.

-=1,

∴x2=a2,m2=a2.

∴x2-m2=(y2-n2).

∴kPM·kPN==(定值).