Question

已知△ABC的邊AB所在直線的方程為x-3y-6=0，M（2，0）滿足

BM

=

MC

，點T（-1，1）在AC所在直線上且

AT

•

AB

=0．   
（1）求△ABC外接圓的方程；
（2）一動圓過點N（-2，0），且與△ABC的外接圓外切，求此動圓圓心的軌跡方程Γ；
（3）過點A斜率為k的直線與曲線Γ交于相異的P，Q兩點，滿足

OP

•

OQ

＞6，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由

AT

•

AB

=0，知AT⊥AB，從而直線AC的斜率為-3．所以AC邊所在直線的方程為3x+y+2=0．由

x-3y-6=0 3x+y+2=0

得點A的坐標為（0，-2），由此能求出△ABC外接圓的方程．
（2）設動圓圓心為P，因為動圓過點N，且與△ABC外接圓M外切，所以|PM|=|PN|+2

2

，即|PM|-|PN|=2

2

．故點P的軌跡是以M，N為焦點，實軸長為2

2

，半焦距c=2的雙曲線的左支．由此能求出動圓圓心的軌跡方程．
（3）PQ直線方程為：y=kx-2，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

x2-y2=2(x＜0) y=kx-2

得（1-k²）x²+4kx-6=0（x＜0）
，由此能夠得到k的取值范圍．

解答：解：（1）∵

AT

•

AB

=0∴AT⊥AB，從而直線AC的斜率為-3．
所以AC邊所在直線的方程為y-1=-3（x+1）．即3x+y+2=0．
由

x-3y-6=0 3x+y+2=0

得點A的坐標為（0，-2），

∵ BM = MC ∴M(2，0)為Rt△ABC外接圓的圓心

又r=|AM|=

(2-0)2+(0+2)2

=2

2

．
所以△ABC外接圓的方程為：（x-2）²+y²=8．
（2）設動圓圓心為P，因為動圓過點N，且與△ABC外接圓M外切，
所以|PM|=|PN|+2

2

，即|PM|-|PN|=2

2

．
故點P的軌跡是以M，N為焦點，實軸長為2

2

，半焦距c=2的雙曲線的左支．
從而動圓圓心的軌跡方程Γ為

x2

2

-

y2

2

=1(x＜0)．
（3）PQ直線方程為：y=kx-2，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由

x2-y2=2(x＜0) y=kx-2

得（1-k²）x²+4kx-6=0（x＜0）
∴

1-k2≠0 △=16k2+24(1-k2)＞0 x1+x2= 4k k2-1 ＜0 x1x2= 6 k2-1 ＞0 OP • OQ =x1x2+y1y2= 2k2+2 k2-1 ＞6

解得：-

2

＜k＜-1
故k的取值范圍為(-

2

，-1)

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系的綜合運用，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．