Question

已知△ABC的邊AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，M（2，0）滿足，點T（-1，1）在AC邊所在直線上且滿足．
（1）求AC邊所在直線的方程；
（2）求△ABC外接圓的方程；
（3）若動圓P過點N（-2，0），且與△ABC的外接圓外切，求動圓P的圓心的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得△ABC為Rt△ABC，由AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，可求直線AC的斜率，點T（-1，1）在直線AC上，利用直線的點斜式可求
（2）AC與AB的交點為A，聯立方程可求A的坐標，由，結合直角三角形的性質可得MRt△ABC的外接圓的圓心，進而可求r=|AM|，外接圓的方程可求
（3）由題意可得，即，結合圓錐曲線的定義可求軌跡方程
解答：解：（1）∵
∴AT⊥AB，又T在AC上
∴AC⊥AB，△ABC為Rt△ABC，
又AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，所以直線AC的斜率為-3．
又因為點T（-1，1）在直線AC上，
所以AC邊所在直線的方程為y-1=-3（x+1）．即3x+y+2=0．
（2）AC與AB的交點為A，所以由解得點A的坐標為（0，-2），
∵
∴M（2，0）為Rt△ABC的外接圓的圓心
又r=．
從△ABC外接圓的方程為：（x-2）²+y²=8．
（3）因為動圓P過點N，所以|PN|是該圓的半徑，又因為動圓P與圓M外切，
所以，即．
故點P的軌跡是以M，N為焦點，實軸長為的雙曲線的左支．
因為實半軸長，半焦距c=2．所以虛半軸長．
從而動圓P的圓心的軌跡方程為．
點評：本題主要考查了兩直線垂直的斜率關系的應用，直線方程的點斜式的應用，直角三角形的外接圓的性質的應用及橢圓定義、橢圓方程求解等知識的綜合應用，本題考查的知識點較多，要求考生具備綜合應用知識的能力