Question

若m∈R，命題p：設x₁和x₂是方程x²-ax-3=0的兩個實根，不等m²-2m-4≥|x₁-x₂|對任意實數a∈[-2，2]恒成立命題q：“4x+m＜0”是“x²-x-2＞0”的充分不必要條件．求使p且￢q為真命題的m的取值范圍．

Answer 1

分析：由方程的根與系數關系可得，x₁+x₂=a，x₁x₂=-3，而|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

代入結合a得范圍可求|x₁-x₂|的最大值，從而求出命題p對應的m得范圍；再由“4x+m＜0”是“x²-x-2＞0”的充分不必要條件求出命題q對應的m得范圍，最后結合復合命題的真值可求出使p且￢q為真命題的m的取值范圍．

解答：解：∵x₁，x₂是方程x²-ax-3=0的兩個實根
∴x₁+x₂=a，x₁x₂=-3
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

a2+12

∵a∈[-2，2]∴

a2+12

∈[2

3

，4]
∵不等m²-2m-4≥|x₁-x₂|對任意實數a∈[-2，2]恒成立
∴m²-2m-4≥|x₁-x₂|_max在a∈[-2，2]成立即可
∴m²-2m-4≥4解得m≤-2或m≥4
∴p：m≤-2或m≥4
∵x²-x-2＞0∴x＜-1或x＞2
∵4x+m＜0∴x＜-

m

4

∵“4x+m＜0”是“x²-x-2＞0”的充分不必要條件
∴-

m

4

≤-1解得m＞4
∴q：m≥4
∵p且￢q為真命題
∴{m|m≤-2或m≥4}∩{m|m＜4}={m|m≤-2}

點評：本題主要考查了恒成立問題，以及復合命題的真假判斷的應用，解題得關鍵是熟練應用函數的知識準確求出命題p，q為真時的m的取值范圍，屬于中檔題．