Question

若m∈R，命題p：設x₁和x₂是方程x²﹣ax﹣3=0的兩個實根，不等m²﹣2m﹣4≥|x₁﹣x₂|對任意實數a∈[﹣2，2]恒成立命題q：“4x+m＜0”是“x²﹣x﹣2＞0”的充分不必要條件．求使p且￢q為真命題的m的取值范圍．

Answer 1

解：∵x₁，x₂是方程x²﹣ax﹣3=0的兩個實根
∴x₁+x₂=a，x₁x₂=﹣3
∴|x₁﹣x₂|==
∵a∈[﹣2，2]
∴∈[2，4]
∵不等m²﹣2m﹣4≥|x₁﹣x₂|對任意實數a∈[﹣2，2]恒成立
∴m²﹣2m﹣4≥|x₁﹣x₂|_max在a∈[﹣2，2]成立即可
∴m²﹣2m﹣4≥4解得m≤﹣2或m≥4
∴p：m≤﹣2或m≥4
∵x²﹣x﹣2＞0 ∴x＜﹣1或x＞2
∵4x+m＜0∴x＜﹣
∵“4x+m＜0”是“x²﹣x﹣2＞0”的充分不必要條件
∴﹣＜﹣1解得m＞4
∴q：m＞4
∵p且￢q為真命題
∴{m|m≤﹣2或m≥4}∩{m|m≤4}={m|m≤﹣2或m=4}