Question

已知函數(shù)f（x）=x²，g（x）=x-1
（1）若?x∈R使f（x）＜bg（x），求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）設(shè)F（x）=f（x）-mg（x）+1-m-m²，命題p：F（x）在區(qū)間[-3，-2]上單調(diào)遞減，命題q：方程x²+mx+1=0有兩不等的正實(shí)根，若命題p∧q為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把?x∈R使f（x）＜b•g（x），轉(zhuǎn)化為?x∈R，x²-bx+b＜0，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)得△=（-b）²-4b＞0，解出實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）先求得F（x）=x²-mx+1-m²，再對判斷函數(shù)的單調(diào)性，可求出命題p為真時實(shí)數(shù)m的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)方程的根的個數(shù)與△的關(guān)系，求出命題q實(shí)數(shù)m的取值范圍，最后由命題p∧q為真，則命題p與q均為真，求出兩個范圍的交集得到答案．

解答：解：（1）由?x∈R，f（x）＜b•g（x），得?x∈R，x²-bx+b＜0，
∴△=（-b）²-4b＞0，解得b＜0或b＞4，
∴實(shí)數(shù)b的取值范圍是（-∞，0）∪（4，+∞）；
（2）由題設(shè)得F（x）=x²-mx+1-m²，
其圖象是開口朝上且對稱軸方程為x=

m

2

的拋物線，
若F（x）在區(qū)間[-3，-2]則

m

2

≥-2
即m≥-4
若x²+mx+1=0有兩不等的正實(shí)根，
則

m2-4＞0 m＜0

解得m＜-2
又∵命題p∧q為真，則命題p與q均為真，
∴-4≤m＜-2

點(diǎn)評：本題的（1）考查了存在性問題，存在性問題是只要能找到即可，并不要求所有的都成立．（2）的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．