Question

【題目】已知圓，圓，如圖，分別交軸正半軸于點(diǎn).射線分別交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足直線與軸垂直，直線與軸垂直.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作直線交曲線與點(diǎn)，射線與點(diǎn)，且交曲線于點(diǎn).問(wèn)：的值是否是定值？如果是定值，請(qǐng)求出該定值；如果不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）是定值，為.

【解析】

(1) 設(shè),再根據(jù)三角函數(shù)的關(guān)系可得,,進(jìn)而消參求得軌跡的方程即可.

(2) 設(shè)直線的方程為,再聯(lián)立直線與(1)中橢圓的方程,根據(jù)弦長(zhǎng)公式化簡(jiǎn),代入韋達(dá)定理求解即可.

解：方法一：（1）如圖設(shè),則

,所以,.

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.

方法二：（1）當(dāng)射線的斜率存在時(shí),設(shè)斜率為,方程為,

由得,同理得,所以即有動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.當(dāng)射線的斜率不存在時(shí),點(diǎn)也滿(mǎn)足.

（2）由（1）可知為的焦點(diǎn),設(shè)直線的方程為（斜率不為0時(shí)）且設(shè)點(diǎn),,由得

所以,所以

又射線方程為,帶入橢圓的方程得,即

,

所以

又當(dāng)直線的斜率為時(shí),也符合條件.綜上,為定值,且為.