Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別F₁、F₂焦距為2，且與雙曲線

x2

2

-y²=1共頂點(diǎn)．P為橢圓C上一點(diǎn)，直線PF₁交橢圓C于另一點(diǎn)Q．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，b），求過P、Q、F₂三點(diǎn)的圓的方程；
（3）若

F1P

=λ

QF1

，且λ∈[

1

2

，2]，求

OP

•

OQ

的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意得c=1，a²=2，可得橢圓C的方程；
（2）先求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法，即可求過P、Q、F₂三點(diǎn)的圓的方程；
（3）利用

F1P

=λ

QF1

，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，結(jié)合基本不等式，即可求

OP

•

OQ

的最大值．

解答： 解：（1）由題意得c=1，a²=2…（2分）
故橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．…（3分）
（2）因?yàn)镻（0，1），F(xiàn)₁（-1，0），所以PF₁的方程為x-y+1=0
由

x-y+1=0 x2+2y2=2

，解得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-

4

3

，-

1

3

)．  …（5分）
設(shè)過P，Q，F(xiàn)₂三點(diǎn)的圓為x²+y²+Dx+Ey+F=0…（6分）
則

1+E+F=0 1+D+F=0 17 9 - 4 3 D- 1 3 E+F=0

解得D=

1

3

，E=

1

3

，F(xiàn)=-

4

3

所以圓的方程為x2+y2+

1

3

x+

1

3

y-

4

3

=0…（8分）
（3）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

F1P

=(x1+1，y1)，

QF1

=(-1-x2，-y2)
因?yàn)?span id="y0cy2yo" class="MathJye">

F1P

=λ

QF1

，所以

x1+1=λ(-1-x2) y1=-λy2

，即

x1=-λx2-λ-1 y1=-λy2

所以

(-λx2-λ-1)2 2 +λ2y22=1 x22 2 + y 2 2 =1

，解得x2=

1-3λ

2λ

…（10分）
所以

OP

•

OQ

=x1x2+y1y2=x2(-λx2-λ-1)-λ

y

2 2

=-

λ

2

x

2 2

-(1+λ)x2-λ
=-

λ

2

(

1-3λ

2λ

)2-(1+λ)•

1-3λ

2λ

-λ=

7

4

-

5

8

(λ+

1

λ

)…（12分）
因?yàn)?span id="2qs2q2y" class="MathJye">λ∈[

1

2

，2]，所以λ+

1

λ

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)λ=

1

λ

，
即λ=1時(shí)，取等號(hào)．

OP

•

OQ

最大值為

1

2

．             …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查圓的方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．