Question

【題目】已知二次函數f(x)滿足f(x＋1)－f(x)＝－2x＋1，且f(2)＝15.

(1)求函數f(x)的解析式；

(2) 令g(x)＝(2－2m)x－f(x)．

① 若函數g(x)在x∈[0，2]上是單調函數，求實數m的取值范圍；

② 求函數g(x)在x∈[0，2]上的最小值．

Answer 1

【答案】（1）f(x)＝－x2＋2x＋15.（2）①m≤0或m≥2. ②見解析

【解析】試題分析：（1）設二次函數一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，代入條件化簡，根據恒等條件得2a＝－2，a＋b＝1，解得a＝－1，b＝2.再根據f(2)＝15，求c（2）①根據二次函數對稱軸必在定義區間外得實數m的取值范圍；②根據對稱軸與定義區間位置關系，分三種情況討論函數最小值取法.

試題解析：解：(1) 設二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

則f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b＝－2x＋1，

∴ 2a＝－2，a＋b＝1，∴ a＝－1，b＝2.

又f(2)＝15，∴ c＝15.

∴ f(x)＝－x2＋2x＋15.

(2) ① ∵ f(x)＝－x2＋2x＋15，

∴ g(x)＝(2－2m)x－f(x)＝x2－2mx－15.

又g(x)在x∈[0，2]上是單調函數，∴ 對稱軸x＝m在區間[0，2]的左側或右側，∴ m≤0或m≥2.

② g(x)＝x2－2mx－15，x∈[0，2]，對稱軸x＝m，

當m＞2時，g(x)min＝g(2)＝4－4m－15＝－4m－11；

當m＜0時，g(x)min＝g(0)＝－15；

當0≤m≤2時，g(x)min＝g(m)＝m2－2m2－15＝－m2－15.

綜上所述，g(x)min＝