Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率是

6

3

，過橢圓上一點M作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點，且斜率分別為k₁，k₂，若點A，B關于原點對稱，則k₁•k₂的值為

 

．

Answer 1

分析：設M（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），k1=

y0-y1

x0-x1

，k2=

y0-y2

x0-x2

，再由點差法可知k₁•k₂=

y0-y1

x0-x1

•

y0+y1

x0+x1

=

y02-y12

x02-x12

=-

b2

a2

=-

3k2

9k2

=-

1

3

．

解答：解：∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率是

6

3

，
∴c=

6

k，a=3k，b=

3

k，
設M（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），
k1=

y0-y1

x0-x1

，k2=

y0-y2

x0-x2

，
把M和A分別代入橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，并相減，整理得

y02-y12

x02-x12

=-

b2

a2

=-

3k2

9k2

=-

1

3

．
∴k₁•k₂=

y0-y1

x0-x1

•

y0+y1

x0+x1

=

y02-y12

x02-x12

=-

b2

a2

=-

3k2

9k2

=-

1

3

．

點評：本題考查橢圓的性質和應用，解題時要注意挖掘隱含條件，注意點差法的運用．