Question

（2013•威海二模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為e=

6

3

，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構成的四邊形面積為

2 6

3

+2．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：

ND • MP

AB 2

為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由e=

6

3

得

c

a

=

6

3

，由過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構成的四邊形面積為

2 6

3

+2，得（a+c）•

b2

a

=

2 6

3

+2，結合a²=b²+c²求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設出過M點的直線方程，和橢圓方程聯立后化為關于x的一元二次方程，利用根與系數關系求出A，B兩點的橫坐標的和與積，由判別式大于0求出斜率k的范圍，由中點坐標公式得到N點的坐標，求出直線NP的方程，取x=0得到P點坐標，求出向量

ND

，

MP

，

AB

的坐標后直接代入

ND • MP

AB 2

化簡運算．

解答：（Ⅰ）解：由題意可得

c a = 6 3 (a+c)• b2 a = 2 6 3 +2 a2=b2+c2

，解得

a= 6 b= 2

，
∴橢圓的標準方程為

x2

6

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）證明：設直線AB的方程為y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立直線與橢圓的方程

x2 6 + y2 2 =1 y=kx+2

，整理得（3k²+1）x²+12kx+6=0．
∵直線AB與橢圓有兩個公共點，∴△=（12k）²-4（3k²+1）•6＞0?3k²-1＞0
∴k＞

3

3

或k＜-

3

3

．
由x1+x2=

-12k

3k2+1

，x1x2=

6

3k2+1

．
得|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+k2)[

144 k 2

(3k2+1)2

-

24

1+3k2

]
=

24(1+k2)(3k2-1)

(1+3k2)2

．
設N（x'，y'），則x′=

x1+x2

2

=

-6k

3k2+1

，y′=kx′+2=

2

3k2+1

∴直線NP的方程y-

2

1+3k2

=-

1

k

(x+

6k

1+3k2

)，
令x=0，得yP=

-4

1+3k2

，

∴

ND

=(0，

3k2-1

1+3k2

)，

MP

=(0，

-6k2-6

1+3k2

)．

∴

ND • MP

AB 2

=

-6(1+k2)(3k2-1)

24(1+k2)(3k2-1)

=-

1

4

．即為定值

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了平面向量的數量積運算，考查了直線和圓錐曲線的關系，解答此題的關鍵是把三個向量的坐標都用直線的斜率k表示，體現了整體運算思想，是難題．