Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x²-5x+2=0的根，求橢圓方程．

Answer 1

分析：把x=c代入

x2

a2

+

y2

b2

=1中，得y²=

b4

a2

，∴y=±

b2

a

．∴|MN|=

2b2

a

=3．再根據a²=b²+c²橢圓離心率e=

c

a

，求得a、b，從而求得橢圓的方程．

解答：解：∵右焦點為F（c，0），把x=c代入

x2

a2

+

y2

b2

=1中，得y²=

b4

a2

，
∴y=±

b2

a

．∴|MN|=

2b2

a

=3．①
又2x²-5x+2=0⇒（2x-1）（x-2）=0，∴x=

1

2

或2，
又e∈（0，1），∴e=

1

2

，即

c

a

=

1

2

．②
又知a²=b²+c²，③
由①②③聯立解得a=2，b=

3

，c=1，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．

點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質，橢圓的標準方程，解題的關鍵是用a，b表示|MN|．