Question

【題目】已知點 ，圓 ，過點 的直線l與圓 交于 兩點，線段 的中點為 （ 不同于 ），若 ，則l的方程是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】圓C的標準方程可化為（x﹣2）2+y2=6，
所以圓心為C（2，0），半徑為 ，
設M（x，y），則 =（x﹣2，y）， =（1﹣x，1﹣y），
由題設知 =0，故（x﹣2）（1﹣x）+y（1﹣y）=0，
即（x﹣ ）2+（y﹣ ）2= ．
由于點P在圓C的內部，
所以M的軌跡方程是（x﹣ ）2+（y﹣ ）2= ．
M的軌跡是以點N（ ， ）為圓心， 為半徑的圓．
由于|OP|=|OM|，故O在線段PM的中垂線上，
又P在圓N上，從而ON⊥PM．
因為ON的斜率為 ，所以l的斜率為﹣3，
故l的方程為y﹣1=﹣3（x﹣1），即3x+y﹣4=0．
故答案為：3x+y﹣4=0．
過一定點的直線與圓相交所得的弦的中點軌跡應是一個圓在已知圓內部的一部分,再由 | O P | = | O M |得直線的斜率,求其方程.