Question

已知α，β是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的兩個不等實根，函數的定義域為[α，β]．
（Ⅰ）判斷函數f（x）在定義域內的單調性，并證明．
（Ⅱ）記：g（k）=maxf（x）-minf（x），若對任意k∈R，恒有成立，
求實數a 的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）證一：設α≤x₁＜x₂≤β，則4x₁²-4tx₁-1≤0，4x₂²-4tx₂-1≤0，
∴
則
又
故f（x）在區間[α，β]上是增函數． …．…．（6分）
證二：
易知：當x∈[α，β]時，4x²-4kx-1≤0，∴
故f（x）在區間[α，β]上是增函數．
（Ⅱ）恒成立．，∴…（13分）
分析：（Ⅰ）證一：根據題意可設α≤x₁＜x₂≤β，利用4x₁²-4tx₁-1≤0，4x₂²-4tx₂-1≤0，求得，從而可判斷的符號，即可判斷函數f（x）在定義域內的單調性；
證二：可求f′（x），利用x∈[α，β]時，4x²-4kx-1≤0可得，從而可判斷f′（x）的符號，可以判斷函數f（x）在定義域內的單調性；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在區間[α，β]上是增函數，maxf（x）=f（β），minf（x）=f（α），，分離出a，即整理成k是a的函數，利用基本不等式可求得a的取值范圍．
點評：本題考查函數單調性及其證明，難點在于證法一中“”符號的確定及證法二中“”的分析，考查學生的綜合分析與轉化能力，屬于難題．