Question

已知tanα、tanβ是方程x²-4x-2=0的兩個實根，求：cos²（α+β）+2sin（α+β）cos（α+β）-3sin²（α+β）的值．

Answer 1

分析：先利用韋達定理，求出tanα+tanβ和tanα•tanβ的值，利用正切的兩角和公式求出tan（α+β）的值；再把原式化簡成關于正切的分數，最后得出結果．

解答：解：由已知有tanα+tanβ=4，
tanα•tanβ=-2，
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

4

3

，
∴cos²（α+β）+2sin（α+β）cos（α+β）-3sin²（α+β）
=

cos2(α+β)+2sin(α+β)cos(α+β)-3sin2(α+β)

cos2(α+β)+sin2(α+β)

=

1+2tan(α+β)-3tan2(α+β)

1+tan2(α+β)

=

1+ 8 3 -3× 16 9

1+ 16 9

=-

3

5

．

點評：本題主要考查了弦切轉化的問題．注意利用好三角函數中的正弦余弦的平方關系．