Question

【題目】已知函數.

（1）若曲線在點處的切線與圓相切，求的值；

（2）若函數在上存在極值，求的取值范圍；

（3）若函數有兩個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（1）；（2）．

【解析】分析：（1）求出的導函數，將代入求出切線斜率，根據點斜式寫出切線方程.再利用直線與圓相切的條件：圓心到切線的距離等于圓的半徑，即可求得到的值.

（2）將函數在上存在極值，轉化為在上存在零點，且零點左右符號相反.由題可知在上的增函數，根據零點存在性定理得，求解不等式組得到的取值范圍.

（3）根據在上的增函數，存在極小值點，，且在左右分別找到和，滿足，時，求解出的取值范圍.

詳解：解：（1）∵，由，，故曲線在點處的切線方程為：，整理為：，

由切線與圓相切有，解得：.

（2）∵為上的增函數，

∴，即，解得：.

（3）由，當時由函數為增函數，

則函數若存在零點，有且僅有一個，令.

①當時，，

令，由有，

故當時函數單調遞增，當單調遞減，

又由，，，

可知當時，此時函數單調遞減；當時，此時函數單調遞增，

故，此時函數有且只有一個零點.

②當時，由，，故方程在區間上有解.

③當時，由， ，

故方程在區間上有解，

由上知當時函數有唯一的極小值點，記為，有，可得，

要使得函數有兩個零點，至少需要 ，可得，

由函數單調遞增，且，可得：，由，可得，

由上知當時，，且，

而 ，

由常用不等式，可知，故 ，

又，

故 ，

故此時函數有且僅有兩個零點，

由上知的取值范圍為.